A Perfect Night For Bananafish

だがそれを語るには人生は短すぎる

夏休みの自由研究

この前窓を開け放って寝て、朝起きたら体中蚊に刺されまくってました。
そこで夏っぽい風情でも出そうかとカ・ハエ用 金鳥の渦巻 | 製品情報 | KINCHO 大日本除虫菊株式会社を買ってみた。
ぼんやり蚊取り線香を眺めながら

(両側から火をつけたら、どこで終わるんだろう・・・)

計算してみよう。

蚊取り線香は渦巻き型。二つの蚊取り線香を重ねると、大体円に近くなる。
したがって、この円の半径をrとすると
蚊取り線香一本の面積Aは半径rの円の面積の約半分とすることができて、

A=\frac{\pi r^2}{2}
蚊取り線香の幅をw(ただし w \not= 0 )、全長をLとすると、
w \times Lがこの面積Aに等しくなるはずだから、
wL=A
wL=\frac{\pi r^2}{2}

渦巻きの両側から火をつけた場合、どちらも同じ速度で燃えるものとすれば、全長Lの半分のところで出会うことになる。このときの長さをlとすると

l=\frac{L}{2}
で、これが実際渦巻きのどの辺かって?

そんなの面倒くさくて調べたくねぇよ。



追記
KINCHO製品Q&Aによると、全長は約75cm
幅は実物を見たら約0.5cmだったから、
A=0.5 \times 75 = 37.5(cm^2)

それから、半径rは約5cmだから、
 \piをゆとりの3とすると
A=3 \times \frac{5^2}{2}=37.5(cm^2)

おお!?大体合ってるんでねぇの?

で、実際両側から火をつけてどの辺で出会うかって?
だから全長の半分くらいだってば。



さらに追記
勿体無いといわれたので、もうちょい進めてみる。
蚊取り線香の面積Aの半分の面積Sとなるときの半径r^\primeを求めれば、大体の位置がわかる。

S=\frac{\pi r^\prime^2}{2}=\frac{A}{2}
\pi r^\prime^2=A

ここでA=\frac{\pi r^2}{2}なので、
\pi r^\prime^2=\frac{\pi r^2}{2}
r^\prime=\frac{r}{\sqrt{2}}

というわけで、r^\prime=\frac{r}{\sqrt{2}} の辺りで、出会うことになるハズ。



写真撮って、外周とr/\sqrt{2}の辺りに円を描いてみたけど・・・
で、どこなの?



≪8/13 21:30頃追記≫
実はnarikuni案は最初に考えたんだが、面倒なのでやってなかった。
しかしなんだかちゃんと解決しないとマズイ雰囲気になってきたな・・・

つわけで
手ごろなロープを公式で発表されている75cmにカット。
で、半分の37.5cmのところにピンクで印をつけた。

で、蚊取り線香に巻きつけたのが下の写真。

意外と外側だね。
真ん中ちょっと合ってないように見えるけどキニシナイ。
このロープ使って、目盛り付き蚊取り線香とか、蚊取り線香時計とか作れちゃウゥッ!
これで夏休みの工作の宿題も出来ちゃうかもね!



≪8/13 22:30頃追記≫
スパイラルモデルで研究が進んでます。くるくるっ!ふゆさんから燃焼速度の話が出たので、
この辺もちょっと考えて見よう。

実際測るの面倒なので、これも金鳥の渦巻 | KINCHO製品Q&A | 製品情報 | KINCHO 大日本除虫菊株式会社のデータを使っちゃいます。

燃焼時間は約7時間だそう。湿度とか大気の状態で変化しちゃうだろうね。
燃える速度vは、長さL(=75cm)を時間t(=7 hours)で割ればよい。

v=\frac{L}{t}=\frac{75}{7} \approx 10.78 (cm/h)


時速11cm弱で燃えるワケだ。

で、それがどの辺になるかって???えwww調べるの?

よくある論理クイズネタを借りれば、

  • 蚊取り線香a,bを2個用意。(両方とも7時間で燃え尽きる)
  • aは片側から、bは両側から同時に点火。
  • bは3時間半で燃え尽きる。このときaの火の点いてない端に点火。
  • aは3時間半のさらに半分、1時間45分で燃え尽きる。

全体で5時間15分を測ることもできる(合ってるか?)



≪8/14 12:00頃追記≫
メンドイ(もう数式書きたくない)ので終了。
面倒なのが好きな人は、角度\thetaに沿って線積分(周回積分)すればいいと思うよ。
これができる人はレコードとかCDの溝の計算にも応用できるハズ。

円盤にメッセージを書いた後、蚊取り線香のように渦巻きで切って伸ばせば、カンタンな暗号紐だって作れちゃうネ。
渦巻に沿ってコイルみたいにらせん状に進む蚊取り線香とか、
みんなもいろいろ考えてみよう!(他人に丸投げ)



≪8/14 23:55頃追記≫

同僚のshinsukeタンが、3Dバージョンで作ってくれました。わーい!アリガトー!
AdobeAcrobat Readerがあれば見れますよ。(バージョン8以降推奨ですが、バージョン7でも見れました。)
蚊取り線香

Acrobat Readerで開いたあと、画像のところクリックすると、いろいろ動かせちゃうのだ。
皆もぐるんぐるんまわして遊ぼう!